如何轻松掌握数学复合函数求值域的全过程？

数学复合函数求值域过程详解

在数学中，复合函数是由两个或多个函数通过某种方式组合而成的函数。求复合函数的值域是一个重要的课题，它涉及对函数性质的理解和应用。本文将详细介绍复合函数求值域的过程，并通过实例加以说明。

首先，我们需要明确几个基本概念：

1. 函数：设A、B是两个非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量，数集A称为函数的定义域，数集{y|y=f(x)，x∈A}称为函数的值域。

2. 复合函数：设y=f(u)，u=g(x)，若u=g(x)的值域与y=f(u)的定义域有交集，则称f[g(x)]为f与g的复合函数，记为y=f[g(x)]，其中x为自变量，u为中间变量，y为因变量。

接下来，我们介绍求复合函数值域的一般步骤：

步骤一：确定复合函数的表达式

首先，我们需要明确复合函数的表达式。例如，给定两个函数y=f(u)和u=g(x)，复合函数可以表示为y=f[g(x)]。

步骤二：分析内层函数的值域

内层函数（即u=g(x)）的值域是求解复合函数值域的关键。我们需要先求出内层函数u=g(x)的值域。这通常涉及到对内层函数性质的分析，如单调性、奇偶性、有界性等。

步骤三：分析外层函数的单调性

外层函数（即y=f(u)）的单调性对于确定复合函数的值域也很重要。我们需要知道外层函数在其定义域内的单调性，以便根据内层函数的值域来确定复合函数的值域。

步骤四：结合内层函数值域和外层函数单调性求复合函数值域

在确定了内层函数的值域和外层函数的单调性后，我们可以根据这些信息来求解复合函数的值域。具体方法包括：

当外层函数单调递增时：如果内层函数的值域为[a,b]，且外层函数在[a,b]上单调递增，则复合函数的值域为[f(a),f(b)]。

当外层函数单调递减时：如果内层函数的值域为[a,b]，且外层函数在[a,b]上单调递减，则复合函数的值域为[f(b),f(a)]。

当外层函数在部分区间单调时：如果内层函数的值域跨越了外层函数的多个单调区间，我们需要分别考虑这些区间，并取并集作为复合函数的值域。

为了更具体地说明这个过程，我们来看一个例子：

例1：求复合函数y=log₂(x²-4x+3)的值域。

解：

1. 确定复合函数的表达式：

复合函数为y=log₂(x²-4x+3)。

2. 分析内层函数的值域：

内层函数为u=x²-4x+3。这是一个二次函数，可以通过配方化简为u=(x-2)²-1。由于二次函数的性质，我们知道其值域为[-1,+∞)（因为(x-2)²≥0）。

3. 分析外层函数的单调性：

外层函数为y=log₂u。对数函数在其定义域(0,+∞)上是单调递增的。

4. 结合内层函数值域和外层函数单调性求复合函数值域：

由于内层函数的值域为[-1,+∞)，但外层函数的定义域要求u>0，所以实际有效的内层函数值域为(0,+∞)。外层函数y=log₂u在(0,+∞)上单调递增，因此复合函数的值域为(-∞,+∞)（因为log₂u可以取到所有实数）。但需要注意的是，由于内层函数的最小值为-1且取不到，所以复合函数实际上取不到负无穷大的值。然而，由于对数函数的增长速度远大于任何多项式函数，当u趋近于0时，y=log₂u趋近于-∞（尽管永远不等于-∞）。因此，从实用的角度来看，我们可以认为复合函数的值域为全体实数集R。但严格来说，应排除y=-∞这一不可能取到的值（尽管在数学上这样的表述有些微妙）。为了简洁起见，我们通常还是说复合函数的值域为R。

例2：求复合函数y=√(2x+1)/(x-1)的值域。

解：

1. 确定复合函数的表达式：

复合函数为y=√(2x+1)/(x-1)。

2. 分析内层函数的值域（这里实际上是将复合函数看作两部分组成的整体来分析）：

令u=2x+1，v=x-1，则y=√u/v。我们需要分别求出u和v的取值范围，并考虑它们之间的制约关系。由于x是实数，所以u=2x+1可以取到所有实数（即R），但v=x-1不能取到0（因为分母不能为0）。所以，我们需要排除v=0的情况，即x≠1。然而，在求复合函数的值域时，我们更关心的是u/v的取值范围，而不是u和v各自独立的取值范围。因此，我们需要进一步分析u/v的性质。

3. 分析u/v的性质（即复合函数作为整体函数的性质）：

将u和v代入y=√u/v，得到y=√((2x+1)/(x-1))。为了求y的值域，我们可以尝试将y表示为x的函数，并求其定义域和值域。但这样做往往比较复杂。一个更简单的方法是利用不等式的性质来分析y的取值范围。由于y=√((2x+1)/(x-1))，我们可以得到y²=(2x+1)/(x-1)。通过交叉相乘和整理，我们可以得到一个关于x的二次方程：(y²-2)x-y²-1=0。这个方程必须有实数解（因为x是实数），所以其判别式Δ必须大于等于0。即：(y²-2)²-4(y²-1)≥0。化简后得到：y²-4y≤0。进一步因式分解得到：y(y-4)≤0。由此可得：0≤y≤4（注意：这里我们排除了y<0的情况，因为根号下的表达式必须非负）。所以，复合函数的值域为[0,4]。

通过以上两个例子，我们可以看到求复合函数值域的过程涉及对内层函数和外层函数性质的综合分析。在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点选择合适的方法来求解。